МЕТОД СТРЕЛЬБЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ PYTHON

Метод стрельбы является одним из наиболее распространенных численных методов решения краевых задач в Python. Суть метода заключается в приближенном нахождении начальных значений производных решения в точке левого или правого края области. Затем, решение уравнения с этими начальными значениями производных прогоняется через всю область, проверяя, соответствует ли полученное решение краевым условиям.

Для примера, рассмотрим задачу о нахождении решения дифференциального уравнения второго порядка с краевыми условиями:

$$y'' + y = 0, \quad y(0) = 0, \quad y(\pi/2) = 1$$

Для использования метода стрельбы, необходимо привести краевые условия к виду задачи Коши, то есть найти начальные значения $y(0)$ и $y'(0)$ соответствующего дифференциального уравнения первого порядка:

y = [0, 1]
dydx = [0, 0]
x = np.linspace(0, np.pi/2, 100)
sol = solve_ivp(f, [0, np.pi/2], y, t_eval=x, method='RK45')
y_new = sol.y[0,-1]

Здесь функция $f$ определяется как

def f(x, y):
return [y[1], -y[0]]

В данном примере, задача сведена к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка, которую можно решить численно с помощью функции solve_ivp из библиотеки scipy.integrate.

Полученное целевое значение $y(\pi/2)$ сравнивается с заданным, и на основе разницы между этими значениями корректируются начальные значения производных, после чего решение уравнения пересчитывается. По мере повторения процесса, решение стремится к точному решению краевой задачи.